Sqrt(x) -- Leetcode

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

1. 二分法：Binary Search.

public int mySqrt(int x) {
        if(x < 0)return -1;
        if(x == 0)return 0;
        int start = 1;
        int end = x / 2 + 1;
        
        while(start <= end){
            int mid = start + (end - start) / 2;
            if(mid <= x/mid && (mid+1) > x/(mid+1)){
                return mid;
            }else if(mid > x/mid){
                end = mid - 1;
            }else{
                //mid <= x/mid && (mid+1) <= x/(mid+1)
                start = mid + 1;
            }
        }
        return end;

    }

2. 牛顿迭代法

   为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

有了迭代公式x_i+1= (x_i + n/x_i) / 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

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1. int sqrt(int x) {  
2.         // Start typing your C/C++ solution below  
3.         // DO NOT write int main() function  
4.         if (x ==0)  
5.             return 0;  
6.         double pre;  
7.         double cur = 1;  
8.         do  
9.         {  
10.             pre = cur;  
11.             cur = x / (2 * pre) + pre / 2.0;  
12.         } while (abs(cur - pre) > 0.00001);  
13.         return int(cur);  
14.     }